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考研
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
admin
2017-12-21
108
问题
设A是三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为三维列向量且α
1
≠0，若Aα
1
=α
1
，Aα
2
=α
1
+α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
．
(I)证明：向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
选项
答案
(I)由Aα
1
=α
1
得(A－E)α
1
=0， 由Aα
2
=α
1
+α
2
得(A－E)α
2
=α
1
， 由Aα
3
=α
2
+α
3
得(A－E)α
3
=α
2
． 令 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， 1) 两边左乘以(A－E)得 k
2
α
1
+k
3
α
2
=0， 2) 两边再左乘(A－E)得惫k
3
α
1
=0， 由α
1
≠0得k
3
=0，代入2)得k
2
α
1
=0，则k
2
=0， 再代入1)得k
1
α
1
=0，从而k
1
=0，于是α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (Ⅱ)令P=(α
1
，α
2
，α
3
)， 由(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(α
1
，α
1
+α
2
，α
2
α
3
)得[*] 由｜λE－A｜=｜λE－B｜=(λ－1)
3
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1， [*]因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/i2X4777K
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考研数学三
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