设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

admin2017-12-21 81

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维列向量且α₁≠0，若Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃．
(I)证明：向量组α₁，α₂，α₃线性无关．
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

选项

答案(I)由Aα₁=α₁得(A－E)α₁=0，由Aα₂=α₁+α₂得(A－E)α₂=α₁，由Aα₃=α₂+α₃得(A－E)α₃=α₂．令 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， 1) 两边左乘以(A－E)得 k₂α₁+k₃α₂=0， 2) 两边再左乘(A－E)得惫k₃α₁=0，由α₁≠0得k₃=0，代入2)得k₂α₁=0，则k₂=0，再代入1)得k₁α₁=0，从而k₁=0，于是α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)令P=(α₁，α₂，α₃)，由(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(α₁，α₁+α₂，α₂α₃)得[*] 由｜λE－A｜=｜λE－B｜=(λ－1)³=0得A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1， [*]因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．

解析

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考研数学三

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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3． (I)证明：向量组α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

考研数学三

设f(x)在(a，b)内可导，满足(1)(2)f’(x)+f2(x)+1≥0，∈(a，b)．求证：b—a≥π．

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：在(a，b)内至少存在一点η,且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．

微分方程的通解是________．

设又f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为X和S2，则和E(S2)分别为________．

设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f"(x)＞0，f’(x)＜0．I1=，I2=∫abf(x)dx，I3=(b-a)f(b)，则I1、I2、I3的大小关系为()

设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。(Ⅰ)计算PTDP，其中(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________。

设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值=5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是________。

[*]由题意可知：

资产评估结论是为资产业务提供专业化估价意见，这个意见本身()

某载重汽车原值为29万元，预计行使里程为30万公里，预计残值率为5%，某月实际行使里程为1000公里，则按工作量法，本月应计提的折旧额为(　　)元。

拖拉架梁方法按照牵引方式可分为（）。

我国三大妈祖庙分别在()。

既通过集体的管理去影响个人，又通过对个人的直接管理影响集体。这样的班级管理模式称为()

长城绵延万里，有众多关卡，下列不属于长城关卡并且与其所处地区对应错误的是：

2012年7月27日，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦开幕。其吉祥物标志迅速进行了商标注册，作为有偿使用的吉祥物标志()。

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