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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且fˊ(a)=fˊ(b)=0.证明:∈(a,b).使
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且fˊ(a)=fˊ(b)=0.证明:∈(a,b).使
admin
2016-09-13
22
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且fˊ(a)=fˊ(b)=0.证明:
∈(a,b).使
选项
答案
将f(x)在x=a,x=b处展开泰勒公式. f(x)=f(a)+fˊ(a)(x-a)+[*](x-a)
2
=f(a)+[*](x-a)
2
(a<ξ
1
<x), ① f(x)=f(b)+[*](x-b)
2
(x<ξ
2
<b) ② 令x=[*],②-①得 0=f(b)-f(a)+[*][fˊˊ(ξ
2
)-fˊˊ(ξ
1
)], 得 [*]|fˊˊ(ξ
2
)-fˊˊ(ξ
1
)|≤[*][|fˊˊ(ξ
1
)|+|fˊˊ(ξ
2
)|]. 令|fˊˊ(ξ)|=max{|fˊˊ(ξ
1
)|,|fˊˊ(ξ
1
)|}则 [*](|fˊˊ(ξ
1
)|+|fˊˊ(ξ
2
)|)≤[*]2|fˊˊ(ξ)|=|fˊˊ(ξ)|, 故原命题得证.
解析
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考研数学三
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