设f(x)在[a,b]上二阶可导,且fˊ(a)=fˊ(b)=0.证明:∈(a,b).使

admin2016-09-13  22

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,且fˊ(a)=fˊ(b)=0.证明:∈(a,b).使

选项

答案将f(x)在x=a,x=b处展开泰勒公式. f(x)=f(a)+fˊ(a)(x-a)+[*](x-a)2=f(a)+[*](x-a)2 (a<ξ1<x), ① f(x)=f(b)+[*](x-b)2 (x<ξ2<b) ② 令x=[*],②-①得 0=f(b)-f(a)+[*][fˊˊ(ξ2)-fˊˊ(ξ1)], 得 [*]|fˊˊ(ξ2)-fˊˊ(ξ1)|≤[*][|fˊˊ(ξ1)|+|fˊˊ(ξ2)|]. 令|fˊˊ(ξ)|=max{|fˊˊ(ξ1)|,|fˊˊ(ξ1)|}则 [*](|fˊˊ(ξ1)|+|fˊˊ(ξ2)|)≤[*]2|fˊˊ(ξ)|=|fˊˊ(ξ)|, 故原命题得证.

解析
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