N维列向量组α1，…，αn－1线性无关，且与非零向量β正交，证明：α1，…，αn－1，β线性无关．

admin2017-08-31 51

问题 N维列向量组α₁，…，α_n－1线性无关，且与非零向量β正交，证明：α₁，…，α_n－1，β线性无关．

选项

答案令k₀β+k₁α₁+…+k_n－1α_n－1=0，由α₁，…，α_n－1与非零向量β正交及(β，k₀β+k₁α₁+…+k_n－1α_n－1)=0得k₀(β，β)=0，因为β为非零向量，所以(β，β)=｜β｜²＞0，于是k₀=0，故k₁α₁+…+k_n－1α_n－1=0，由α₁，…，α_n－1线性无关得k₁=…k_n－1=0，于是α₁，…，α_n－1，β线性无关．

解析

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