2. 考研
  3. 设f(0)=g(0)，f′(0)=g′(0)，f″(x)＜g″(x)(当x＞0时)，证明当x＞0时，f(x)＜g(x)．

设f(0)=g(0)，f′(0)=g′(0)，f″(x)＜g″(x)(当x＞0时)，证明当x＞0时，f(x)＜g(x)．

admin2016-11-03  62
问题 设f(0)=g(0)，f′(0)=g′(0)，f″(x)＜g″(x)(当x＞0时)，证明当x＞0时，f(x)＜g(x)．
选项
答案令F(x)=g(x)一f(x)，则 F(0)=0， F′(0)=0， F″(x)＞0． 由拉格朗日中值定理得到 F(x)=F(x)一F(0)=xF′(ξ1)，0＜ξ1＜x， F′(ξ1)=F′(ξ1)一F′(0)=ξ1F″(ξ2)，0＜ξ2＜ξ1， 则 F(x)=xF′(ξ1)=xξ1F″(ξ2)． 因F″(x)＞0，x＞0，ξ1＞0，故F(x)＞0，即f(x)＜g(x)．
解析 作辅助函数F(x)=g(x)一f(x)，则F(0)=0，F′(0)=0．利用此条件对F(x)使用拉格朗日中值定理证之．
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考研数学一

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