设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．

admin2016-10-13 42

问题设f(x)在[a，b]上连续，任取x_i∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取k_i＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得
k₁f(x₁)+k₂f(x₂)+…+k_nf(x_n)=(k₁+k₂+…+k_n)f(ξ)．

选项

答案因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有 m≤f(x_i)≤M(i=1，2，…，n)，注意到k_i＞0(i=1，2，…，n)，所以有 k_im≤k_if(x_i)≤k_i/m(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得 (k₁+k₂+…+k_n)m≤k₁f(x₁)+k₂f(x₂)+…+k_nf(x_n)≤(k₁+k₂+…+k_n)M， [*] 即k₁f(x₁)+k₂f(x₂)+…+k_nf(x_n)=(k₁+k₂+…+k_n)f(ξ)．

解析

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考研数学一

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