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某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总效益函数为 R(x,y)=15x+34y—x2一2xy一4y2一36 (单位:万元). 已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元,生产乙种产品每吨需支付排污费2万元. (1)在不限
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总效益函数为 R(x,y)=15x+34y—x2一2xy一4y2一36 (单位:万元). 已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元,生产乙种产品每吨需支付排污费2万元. (1)在不限
admin
2016-01-25
47
问题
某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为x和y(单位:吨)时的总效益函数为
R(x,y)=15x+34y—x
2
一2xy一4y
2
一36 (单位:万元).
已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元,生产乙种产品每吨需支付排污费2万元.
(1)在不限制排污费用支出的情况下,这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?
(2)当限制排污费用总量为6万元时,这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润又是多少?
选项
答案
(1)扣除排污费用后即得总利润函数: L(x,y)=R(x,y)-x-2y=14x+32y-x
2
一2xy-4y
2
一36. 令 [*] 解得x=4,y=3是唯一驻点. 因驻点唯一,且实际问题又存在最大值,故L(x,y)的最大值必在驻点(4,3)达到,所以当甲、乙两种产品的产量分别为4吨和3吨时,可获得最大利润,且最大利润为 maxL=14×4+32×3—4
2
一2×4×3—4×3
2
一36=40(万元). (2)由题设知,应在条件x+2y=6下求L(x,y)的最大值. 构造拉格朗日函数: F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+2y-6) 令 [*] 解得 x=2,y=2,λ=-6. 因驻点(2,2)唯一,且实际问题又存在最大值,故L(x,y)在条件x+2y=6下的最大值必在驻点(2,2)处达到. 所以,当甲、乙两种产品均是2吨时,可获得最大利润: maxL=14×2+32×2—2
2
一2×2×2—4×2
2
一36=28(万元).
解析
列出总利润函数的表示式,然后分别按无条件极值和有条件极值求之.
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