2. 考研
  3. 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总效益函数为 R(x，y)＝15x＋34y—x2一2xy一4y2一36 (单位：万元)． 已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元，生产乙种产品每吨需支付排污费2万元． (1)在不限

某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总效益函数为 R(x，y)＝15x＋34y—x2一2xy一4y2一36 (单位：万元)． 已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元，生产乙种产品每吨需支付排污费2万元． (1)在不限

admin2016-01-25  34
问题 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总效益函数为
R(x，y)＝15x＋34y—x2一2xy一4y2一36  (单位：万元)．
已知生产甲种产品每吨需支付排污费用1万元，生产乙种产品每吨需支付排污费2万元．
(1)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?
(2)当限制排污费用总量为6万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润又是多少?
选项
答案(1)扣除排污费用后即得总利润函数： L(x，y)＝R(x，y)－x－2y＝14x＋32y－x2一2xy－4y2一36． 令 [*] 解得x＝4，y＝3是唯一驻点． 因驻点唯一，且实际问题又存在最大值，故L(x，y)的最大值必在驻点(4，3)达到，所以当甲、乙两种产品的产量分别为4吨和3吨时，可获得最大利润，且最大利润为 maxL＝14×4＋32×3—42一2×4×3—4×32一36＝40(万元)． (2)由题设知，应在条件x＋2y＝6下求L(x，y)的最大值． 构造拉格朗日函数： F(x，y，λ)＝L(x，y)＋λ(x＋2y－6) 令 [*] 解得 x＝2，y＝2，λ＝－6． 因驻点(2，2)唯一，且实际问题又存在最大值，故L(x，y)在条件x＋2y＝6下的最大值必在驻点(2，2)处达到． 所以，当甲、乙两种产品均是2吨时，可获得最大利润： maxL＝14×2＋32×2—22一2×2×2—4×22一36＝28(万元)．
解析 列出总利润函数的表示式，然后分别按无条件极值和有条件极值求之．
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考研数学三

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