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  3. 已知｜A｜=，试求： (Ⅰ)A12－A22+A32－A42； (Ⅱ)A41+A42+A43+A44．

已知｜A｜=，试求： (Ⅰ)A12－A22+A32－A42； (Ⅱ)A41+A42+A43+A44．

admin2016-10-26  26
问题 已知｜A｜=，试求：
(Ⅰ)A12－A22+A32－A42；  
(Ⅱ)A41+A42+A43+A44．
选项
答案(Ⅰ)虽然我们可以先分别算出每一个代数余子式，然后再求和，但这往往是烦琐的．对于代数余子式的性质应会灵活运用．如能观察到在本题中a11=1，a21=－1，a31=1，a41=－1，那么就知 A12－A22+A32－A42=a11A12+a21A22+a31A32+a41A42=0． (Ⅱ)由于Aij与aij，无关，现在可构造一个新的行列式(将行列式｜A｜中第4行元素置换成代数余子式A4j的系数)，即 [*] 由于｜A｜，｜B｜仅第4行元素：不同，因此新、旧这两个行列式的代数余子式A41，A42，A43，A44是完全一样的，而对｜B｜按第4行展开，就有 ｜B｜=1.A41+1.A42+1.A43+1.A44=A41+A42+A43+A44． 可见，要解(Ⅱ)只需算出行列式｜B｜的值．为此 [*] 即 A41+A42+A43+A44=－1．
解析
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考研数学一

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