已知齐次线性方程组 同解,求a,b,c的值.

admin2021-01-25  42

问题 已知齐次线性方程组

同解,求a,b,c的值.

选项

答案方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数,故方程组(Ⅱ)有非零解.因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3. 对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施以初等行变换: [*] 从而a=2. 此时,方程组(Ⅰ)的系数矩阵可由初等行变换化为 [*] 故(-1,-1,1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系. 将x1=-1,x2=-1,x3=1代入方程组(Ⅱ)可得:b=1,c=2或b=0,c=1. 当b=1,c=2时,对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换,有 [*] 由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价,故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解. 当b=0,c=1时,方程组(Ⅱ)的系数矩阵可由初等行变换化为 [*] 由于(1)式与(3)式右边矩阵的行向量组不等价,故方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同. 综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.

解析
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