设f(χ)是(－∞，＋∞)上的连续非负函数，且f(χ)∫0χ(χ－t)dt＝sin4χ，求f(χ)在区间[0，π]上的平均值．

admin2017-09-15 58

问题设f(χ)是(－∞，＋∞)上的连续非负函数，且f(χ)∫₀^χ(χ－t)dt＝sin⁴χ，求f(χ)在区间[0，π]上的平均值．

选项

答案∫₀^χf(χ－t)dt[*]∫₀^χf(u)(－du)＝∫₀^χf(u)du，由f(χ)∫₀^χf(u)du＝sin⁴χ得[(∫₀^χf(u)du)²]′＝2sin⁴χ， (∫₀^χf(u)du)²＝∫₀^χ2sin⁴χdχ＋C，取χ＝0得C＝0，即(∫₀^χf(u)du)²＝∫₀^χ2sint⁴dt．取χ＝π，则 [*] 从而∫₀^πf(χ)dχ＝[*]，f(χ)在[0，π]上的平均值为 [*]

解析

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