设f(χ)是(－∞，＋∞)上的连续非负函数，且f(χ)∫0χ(χ－t)dt＝sin4χ，求f(χ)在区间[0，π]上的平均值．

admin2017-09-15 62

问题设f(χ)是(－∞，＋∞)上的连续非负函数，且f(χ)∫₀^χ(χ－t)dt＝sin⁴χ，求f(χ)在区间[0，π]上的平均值．

选项

答案∫₀^χf(χ－t)dt[*]∫₀^χf(u)(－du)＝∫₀^χf(u)du，由f(χ)∫₀^χf(u)du＝sin⁴χ得[(∫₀^χf(u)du)²]′＝2sin⁴χ， (∫₀^χf(u)du)²＝∫₀^χ2sin⁴χdχ＋C，取χ＝0得C＝0，即(∫₀^χf(u)du)²＝∫₀^χ2sint⁴dt．取χ＝π，则 [*] 从而∫₀^πf(χ)dχ＝[*]，f(χ)在[0，π]上的平均值为 [*]

解析

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考研数学二

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求解下列微分方程：
函数在点x＝0处是否连续?作出f(x)的图形．
证明：当x≥5时，2x＞x2．
k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解．
因为x→0+时，[*]所以[*]注解该题考查等价无穷小求极限的方法，当x→0常用的等价无穷小有：(1)x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)；(2)1-cosx～，1-cosax～(3)(1+x)a-1～a
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