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设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0。证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时, λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=o(h2)。
设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0。证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时, λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=o(h2)。
admin
2018-04-14
75
问题
设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0。证明:存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0时,
λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)=o(h
2
)。
选项
答案
方法一:只需证存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得 [*] 根据题设和洛必达法则,有 [*] 知λ
1
,λ
2
,λ
3
应满足方程组 [*] 因为系数行列式 [*] 所以上述方程组存在唯一解,即存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
, λ
3
,使得当h→0时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小。 方法二:由麦克劳林公式得 f(h)=f(0)+f’(0)+[*]f"(ξ)h
2
(其中ξ介于0与h之间), 根据题设,使得当h→0时,有f(h)=f(0)+f’(0)h+[*]f"(0)h
2
+o(h
2
) 同理可得f(2h)=f(0)+2f’(0)h+2f"(0)h
2
+o(h
2
), f(3h)=f(0)+3f’(0)h+[*]f"(0)h
2
+o(h
2
), 故λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0) =(λ
1
+λ
2
+λ
3
-1)f(0)+(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f’(0)h+[*](λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f"(0)h
2
+o(h
2
)。 因此λ
1
,λ
2
,λ
3
应满足方程组 [*] 因为系数行列式 [*] 所以上述方程组的解存在且唯一,即存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小。
解析
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考研数学二
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