2. 考研
  3. 设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0。证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时， λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0)=o(h2)。

设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0。证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时， λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0)=o(h2)。

admin2018-04-14  95
问题 设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0。证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，
λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0)=o(h2)。
选项
答案方法一：只需证存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得 [*] 根据题设和洛必达法则，有 [*] 知λ1，λ2，λ3应满足方程组 [*] 因为系数行列式 [*] 所以上述方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ1，λ2， λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小。 方法二：由麦克劳林公式得 f(h)=f(0)+f’(0)+[*]f"(ξ)h2(其中ξ介于0与h之间)， 根据题设，使得当h→0时，有f(h)=f(0)+f’(0)h+[*]f"(0)h2+o(h2) 同理可得f(2h)=f(0)+2f’(0)h+2f"(0)h2+o(h2)， f(3h)=f(0)+3f’(0)h+[*]f"(0)h2+o(h2)， 故λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0) =(λ1+λ2+λ3－1)f(0)+(λ1+2λ2+3λ3)f’(0)h+[*](λ1+4λ2+9λ3)f"(0)h2+o(h2)。 因此λ1，λ2，λ3应满足方程组 [*] 因为系数行列式 [*] 所以上述方程组的解存在且唯一，即存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小。
解析
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考研数学二

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