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设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．
设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．
admin
2022-10-31
62
问题
设S为有界数集．证明：若supS=a
S，则存在严格递增数列{x
n
}
S，使得
x
n
=a．
选项
答案
因a是S的上界，故对[*]ε＞0，则[*]x∈S,使得x＞a-ε．又因a[*]S。故x＜a，从而a-ε＜x＜a．现取ε
1
=1，则[*]x
1
∈S，使得a-ε
1
＜x
1
＜a． 再取ε
2
=min{1／2，a-x
1
}＞0，则存在x
2
∈S，使得 a-ε
2
＜x
2
＜a，且有x
2
＞a-ε
2
≥a-(a-x
1
)=x
1
． 一般地，按上述步骤得到x
n-1
∈S之后，取ε
n
=min{1／n，a-x
n-1
}，则存在x
n
∈S,使得a-ε
n
＜x
n
＜a，且有x
n
＞a-ε
n
≥a-(a-x
n-1
)=x
n-1
．上述过程无限地进行下去，得到数列{x
n
}[*]S，它是严格递增数列，且满足 a-ε
n
＜x
n
＜a＜a+ε
n
[*]｜x
n
-a｜＜ε
n
≤1／n，n=1．2,… 这就证明了[*]x
n
=a．
解析
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考研数学一
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