设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．

admin2022-10-31 41

问题设S为有界数集．证明：若supS=a

S，则存在严格递增数列{x_n}

S，使得

x_n=a．

选项

答案因a是S的上界，故对[*]ε＞0，则[*]x∈S,使得x＞a-ε．又因a[*]S。故x＜a，从而a-ε＜x＜a．现取ε₁=1，则[*]x₁∈S，使得a-ε₁＜x₁＜a．再取ε₂=min{1／2，a-x₁}＞0，则存在x₂∈S，使得 a-ε₂＜x₂＜a，且有x₂＞a-ε₂≥a-(a-x₁)=x₁．一般地，按上述步骤得到x_n-1∈S之后，取ε_n=min{1／n，a-x_n-1}，则存在x_n∈S,使得a-ε_n＜x_n＜a，且有x_n＞a-ε_n≥a-(a-x_n-1)=x_n-1．上述过程无限地进行下去，得到数列{x_n}[*]S，它是严格递增数列，且满足 a-ε_n＜x_n＜a＜a+ε_n[*]｜x_n-a｜＜ε_n≤1／n，n=1．2,… 这就证明了[*]x_n=a．

解析

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考研数学一

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