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  3. 设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．

设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．

admin2022-10-31  29
问题 设S为有界数集．证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S，使得xn=a．
选项
答案因a是S的上界，故对[*]ε＞0，则[*]x∈S,使得x＞a-ε．又因a[*]S。故x＜a，从而a-ε＜x＜a．现取ε1=1，则[*]x1∈S，使得a-ε1＜x1＜a． 再取ε2=min{1／2，a-x1}＞0，则存在x2∈S，使得 a-ε2＜x2＜a，且有x2＞a-ε2≥a-(a-x1)=x1． 一般地，按上述步骤得到xn-1∈S之后，取εn=min{1／n，a-xn-1}，则存在xn∈S,使得a-εn＜xn＜a，且有xn＞a-εn≥a-(a-xn-1)=xn-1．上述过程无限地进行下去，得到数列{xn}[*]S，它是严格递增数列，且满足 a-εn＜xn＜a＜a+εn[*]｜xn-a｜＜εn≤1／n，n=1．2,… 这就证明了[*]xn=a．
解析
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考研数学一

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