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设S为有界数集.证明:若supS=aS,则存在严格递增数列{xn}S,使得xn=a.
设S为有界数集.证明:若supS=aS,则存在严格递增数列{xn}S,使得xn=a.
admin
2022-10-31
20
问题
设S为有界数集.证明:若supS=a
S,则存在严格递增数列{x
n
}
S,使得
x
n
=a.
选项
答案
因a是S的上界,故对[*]ε>0,则[*]x∈S,使得x>a-ε.又因a[*]S。故x<a,从而a-ε<x<a.现取ε
1
=1,则[*]x
1
∈S,使得a-ε
1
<x
1
<a. 再取ε
2
=min{1/2,a-x
1
}>0,则存在x
2
∈S,使得 a-ε
2
<x
2
<a,且有x
2
>a-ε
2
≥a-(a-x
1
)=x
1
. 一般地,按上述步骤得到x
n-1
∈S之后,取ε
n
=min{1/n,a-x
n-1
},则存在x
n
∈S,使得a-ε
n
<x
n
<a,且有x
n
>a-ε
n
≥a-(a-x
n-1
)=x
n-1
.上述过程无限地进行下去,得到数列{x
n
}[*]S,它是严格递增数列,且满足 a-ε
n
<x
n
<a<a+ε
n
[*]|x
n
-a|<ε
n
≤1/n,n=1.2,… 这就证明了[*]x
n
=a.
解析
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考研数学一
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