设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

admin2016-06-27 53

问题设方程xⁿ+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根x_n，并证明当α＞1时，级数

收敛．

选项

答案记f_n(x)=xⁿ+nx一1．由f_n(0)=一1＜0，f_n(1)=n＞0，及连续函数的介值定理知，方程xⁿ+nx一1=0存在正实数根x_n∈(0，1)．当x＞0时，f_n’(x)=nx^n-1+n＞0，可见f_n(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xⁿ+nx一1=0存在唯一正实数根x_n．由xⁿ+nx—1=0与x_n＞0知 [*]

解析

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