设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足证明存在ξ∈(0,1)使得f’(ξ)=2ξf(ξ).

admin2022-10-08 59

问题设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足

证明存在ξ∈(0,1)使得f’(ξ)=2ξf(ξ).

选项

答案由积分中值定理，得到f(1)=[*]f(ξ₁),ξ₁∈[0,[*]],即f(1)e^-1=[*]f(ξ₁) 令F(x)=[*]f(x),则F(x)在[ξ₁,1]上连续，在(ξ₁，1）内可导，且 F(1)=f(1)e^-1=[*]f(ξ₁)=F(ξ₁) 由罗尔定理可知，在(ξ₁,1)内至少有一点ξ，使得 F’(ξ)=[*][f’(ξ)－2ξf(ξ)]=0 于是f’(ξ)=2ξf(ξ),ξ∈(ξ₁，1）[*](0,1).

解析

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考研数学三

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