设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续．证明：f"xy与f"yx在D上相等．

admin2015-07-22 44

问题设D为xOy平面上的区域，若f"_xy与f"_yx都在D上连续．证明：f"_xy与f"_yx在D上相等．

选项

答案用反证法．设[*]P₀(x₀，y₀)∈D，有 f"_xy(x₀，y₀)≠f"_yx(x₀，y₀)，不妨设 f"_xy(x₀，y₀)一f"_yx(x₀，y₀)＞0．由于[*][f"_xy(x₀(x，y)一f"_yx(x₀(x，y)]=f"_xy(x₀(x₀，y₀)一f"_yx(x₀(x₀，y₀)＞0．由极限的保号性，[*]＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P₀，δ)时有f"_xy(x，y)一f"_yx(x，y)＞ε₀． [*] 由(1)， [*] [f"_xy(x，y)一f"_yx(z，y)-]dxdy=0，矛盾，故f"_xy(x，y)与f"_yx(x，y)在D上相等．

解析

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