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设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续．证明：f"xy与f"yx在D上相等．
设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续．证明：f"xy与f"yx在D上相等．
admin
2015-07-22
37
问题
设D为xOy平面上的区域，若f"
xy
与f"
yx
都在D上连续．证明：f"
xy
与f"
yx
在D上相等．
选项
答案
用反证法．设[*]P
0
(x
0
，y
0
)∈D，有 f"
xy
(x
0
，y
0
)≠f"
yx
(x
0
，y
0
)，不妨设 f"
xy
(x
0
，y
0
)一f"
yx
(x
0
，y
0
)＞0．由于[*][f"
xy
(x
0
(x，y)一f"
yx
(x
0
(x，y)]=f"
xy
(x
0
(x
0
，y
0
)一f"
yx
(x
0
(x
0
，y
0
)＞0． 由极限的保号性，[*]＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P
0
，δ)时有f"
xy
(x，y)一f"
yx
(x，y)＞ε
0
． [*] 由(1)， [*] [f"
xy
(x，y)一f"
yx
(z，y)-]dxdy=0，矛盾，故f"
xy
(x，y)与f"
yx
(x，y)在D上相等．
解析
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0
考研数学三
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