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设D为xOy平面上的区域,若f"xy与f"yx都在D上连续.证明:f"xy与f"yx在D上相等.
设D为xOy平面上的区域,若f"xy与f"yx都在D上连续.证明:f"xy与f"yx在D上相等.
admin
2015-07-22
33
问题
设D为xOy平面上的区域,若f"
xy
与f"
yx
都在D上连续.证明:f"
xy
与f"
yx
在D上相等.
选项
答案
用反证法.设[*]P
0
(x
0
,y
0
)∈D,有 f"
xy
(x
0
,y
0
)≠f"
yx
(x
0
,y
0
),不妨设 f"
xy
(x
0
,y
0
)一f"
yx
(x
0
,y
0
)>0.由于[*][f"
xy
(x
0
(x,y)一f"
yx
(x
0
(x,y)]=f"
xy
(x
0
(x
0
,y
0
)一f"
yx
(x
0
(x
0
,y
0
)>0. 由极限的保号性,[*]>0,δ>0,当P(x,y)∈U(P
0
,δ)时有f"
xy
(x,y)一f"
yx
(x,y)>ε
0
. [*] 由(1), [*] [f"
xy
(x,y)一f"
yx
(z,y)-]dxdy=0,矛盾,故f"
xy
(x,y)与f"
yx
(x,y)在D上相等.
解析
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0
考研数学三
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