设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证 : (1)存在点η∈使得f(η)=η. (2)对必存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)-ξ]=1.

admin2018-04-15  26

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证 :
(1)存在点η∈使得f(η)=η.
(2)对必存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)-ξ]=1.

选项

答案(1)令F(z)=f(x)一x,则F(x)在[0,1]上连续,又F(1)=一1<0,[*]由介值定理可知,在[*]中至少存在一点η,使得F(η)=0,即f(η)=η. (2)令φ(x)=[f(x)一x]e-λx,则φ(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且φ(0)=0,φ(η)=[f(η)-η]e-λη=0.由洛尔定理,存在点ξ∈(0,η)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,即e-λξ一λ(f(ξ)一ξ)一1]=0. 从而有f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.

解析 (1)这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为函数的零点问题.f(η)一η=0,即f(x)一x=0,即F(x)=f(x)一x在内有零点.
    由于待证的结论中不含导数,所以可由介值定理证明.
    (2)欲证结论中含有一阶导数,应构造辅助函数用洛尔定理证明.
    由f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1,得到f’(x)一λf(x)=1一λx,
    再由一阶非齐次线性方程的通解公式得
    f(x)=e∫λdx[∫(1一λx)e-∫λdxdx+c
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