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设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且A的秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,C表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( )。
设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且A的秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,C表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( )。
admin
2015-11-16
53
问题
设α
1
,α
2
,α
3
是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且A的秩(A)=3,α
1
=[1,2,3,4]
T
,α
2
+α
3
=[0,1,2,3]
T
,C表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( )。
选项
A、[1,2,3,4]
T
+C[1,1,1,1]
T
B、[1,2,3,4]
T
+C[0,1,2,3]
T
C、[1,2,3,4]
T
+C[2,3,4,5]
T
D、[1,2,3,4]
T
+C[3,4,5,6]
T
答案
C
解析
[解题思路] 根据非齐次线性方程组通解的结构,依次求出其导出组的基础解系及自身的一个特解。
解一 因r(A)=3,n=4,故导出组AX=0的一个基础解系只含n-r(A)=4-3=1个解,又根据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解,因而
2α
1
-(α
2
+α
3
)=(α
1
-α
2
)+(α
1
-α
3
)=[2,3,4,5]
T
≠0
为其导出组的一个解,因它不等于0,故[2,3,4,5]
T
为其导出组的基础解系,又显然α
1
为其自身的一个特解,故所求通解为
α
1
+C[2α
1
-(α
2
+α
3
)]=[1,2,3,4]
T
+C[2,3,4,5]
T
,仅(C)入选。
解二 (A)中[1,1,1,1]
T
=α
1
-(α
2
+α
3
),(B)中[0,1,2,3]
T
=α
2
+α
3
及(D)中[3,4,5,6]
T
=3α
1
-2(α
2
+α
3
)都不是AX=0的解,因而乘以任意常数C后不能构成其导出组的基础解系,故选项(A)、(B)、(D)都不正确,仅(C)入选。
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考研数学一
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