如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵,A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而B是一个任意r阶可逆矩阵,则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

admin2015-11-16  34

问题 如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵,A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而B是一个任意r阶可逆矩阵,则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

选项

答案证一 设[*],其中αj为A的行向量,B=[bij]r×r,则[*], 其中βj为BA的行向量,则 [*] 因α1,α2,…,αr线性无关,且B为满秩矩阵,即 r(B)=r=向量组(β1,β2,…,βr)的个数, 故β1,β2,…,βr线性无关。 因αj为某齐次线性方程组的基础解系,则因β1,β2,…,βr均为α1,α2,…,αr的线性组合,故β1,β2,…,βr也必为该齐次线性方程组的r个解,又它们线性无关,所以β1,β2,…,βr即BA的r个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系。 证二 设αj(j=1,2,…,r)为齐次方程组XTC=0的一个基础解系(XT为行向量,αj也为行向量),则αjc=0,其中c为C的任意列向量,则b1jαjc=0(j=1,2,…,r),因而[*]。同理有 [*](i=1,2,…,r)。 即BA的r个行向量均为XTC=0的解。 又因B可逆,故秩(BA)=秩(A)=r,BA的r个行向量线性无关,所以BA的r个行向量也形成该齐次方程组XTC=0的基础解系。

解析
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