如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

admin2015-11-16 50

问题如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

选项

答案证一设[*]，其中α_j为A的行向量，B＝[b_ij]_r×r，则[*]，其中β_j为BA的行向量，则 [*] 因α₁，α₂，…，α_r线性无关，且B为满秩矩阵，即 r(B)＝r＝向量组(β₁，β₂，…，β_r)的个数，故β₁，β₂，…，β_r线性无关。因α_j为某齐次线性方程组的基础解系，则因β₁，β₂，…，β_r均为α₁，α₂，…，α_r的线性组合，故β₁，β₂，…，β_r也必为该齐次线性方程组的r个解，又它们线性无关，所以β₁，β₂，…，β_r即BA的r个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系。证二设α_j(j＝1，2，…，r)为齐次方程组X^TC＝0的一个基础解系(X^T为行向量，α_j也为行向量)，则α_jc＝0，其中c为C的任意列向量，则b_1jα_jc＝0(j＝1，2，…，r)，因而[*]。同理有 [*](i＝1，2，…，r)。即BA的r个行向量均为X^TC＝0的解。又因B可逆，故秩(BA)＝秩(A)＝r，BA的r个行向量线性无关，所以BA的r个行向量也形成该齐次方程组X^TC＝0的基础解系。

解析

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考研数学一

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如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵，A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而B是一个任意r阶可逆矩阵，则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。

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