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如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵,A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而B是一个任意r阶可逆矩阵,则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。
如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵,A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而B是一个任意r阶可逆矩阵,则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。
admin
2015-11-16
55
问题
如果A是一个r行n列的其秩为r的矩阵,A的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而B是一个任意r阶可逆矩阵,则矩阵BA的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。
选项
答案
证一 设[*],其中α
j
为A的行向量,B=[b
ij
]
r×r
,则[*], 其中β
j
为BA的行向量,则 [*] 因α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,且B为满秩矩阵,即 r(B)=r=向量组(β
1
,β
2
,…,β
r
)的个数, 故β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关。 因α
j
为某齐次线性方程组的基础解系,则因β
1
,β
2
,…,β
r
均为α
1
,α
2
,…,α
r
的线性组合,故β
1
,β
2
,…,β
r
也必为该齐次线性方程组的r个解,又它们线性无关,所以β
1
,β
2
,…,β
r
即BA的r个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系。 证二 设α
j
(j=1,2,…,r)为齐次方程组X
T
C=0的一个基础解系(X
T
为行向量,α
j
也为行向量),则α
j
c=0,其中c为C的任意列向量,则b
1j
α
j
c=0(j=1,2,…,r),因而[*]。同理有 [*](i=1,2,…,r)。 即BA的r个行向量均为X
T
C=0的解。 又因B可逆,故秩(BA)=秩(A)=r,BA的r个行向量线性无关,所以BA的r个行向量也形成该齐次方程组X
T
C=0的基础解系。
解析
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考研数学一
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