设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，f(a)·＜0．证明：在(a．b)内至少有一点ξ，使f’(ξ)=f(ξ)．

admin2022-11-23 12

问题设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，f(a)·

＜0．证明：在(a．b)内至少有一点ξ，使f’(ξ)=f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，则f(b)＞0，[*]．令F(x)=e^-xf(x)，则 F(a)=e^-af(a)＞0，[*]，F(b)=e^-bf(b)＞0 由闭区间上连续函数的介值定理，至少有一点ξ₁∈(a，[*])，使F(ξ₁)=0；至少存在一点ξ₂∈([*]，b)．使F(ξ₂)=0．在区间[ξ₁，ξ₂]上对F(x)使用罗尔定理，则[*]ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使F’(ξ)=0．即e^-ξf’(ξ)-e^-ξf(ξ)=0，从而f’(ξ)=f(ξ)．

解析

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考研数学一

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