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设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b)>0,f(a)·<0.证明:在(a.b)内至少有一点ξ,使f’(ξ)=f(ξ).
设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b)>0,f(a)·<0.证明:在(a.b)内至少有一点ξ,使f’(ξ)=f(ξ).
admin
2022-11-23
21
问题
设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b)>0,f(a)·
<0.证明:在(a.b)内至少有一点ξ,使f’(ξ)=f(ξ).
选项
答案
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,[*].令F(x)=e
-x
f(x),则 F(a)=e
-a
f(a)>0,[*],F(b)=e
-b
f(b)>0 由闭区间上连续函数的介值定理,至少有一点ξ
1
∈(a,[*]),使F(ξ
1
)=0;至少存在一点ξ
2
∈([*],b).使F(ξ
2
)=0.在区间[ξ
1
,ξ
2
]上对F(x)使用罗尔定理,则[*]ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使F’(ξ)=0.即e
-ξ
f’(ξ)-e
-ξ
f(ξ)=0,从而f’(ξ)=f(ξ).
解析
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考研数学一
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