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没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．
没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．
admin
2019-07-22
40
问题
没A为n阶矩阵，λ
1
和λ
2
是A的两个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
分别是A的对应于λ
1
，λ
2
的特征向量，证明ξ
1
+ξ
2
不是A的特征向量．
选项
答案
由Aξ
1
=λ
1
ξ
1
，Aξ
2
=λ
2
ξ
2
，有A(ξ
1
+ξ
2
)=Aξ
1
+Aξ
2
=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
． 若ξ
1
+ξ
2
是A的特征向量，则应存在数λ，使A(ξ
1
+ξ
2
)=λ(ξ
1
+ξ
2
) =λξ
1
+λξ
2
，从而λξ
1
+λξ
2
=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，即(λ—λ
1
)ξ
1
+(λ—λ
2
)ξ
2
=0． 因为ξ
1
，ξ
2
线性无关，所以λ=λ
1
=λ
2
，这与λ
1
≠λ
2
矛盾． 因此，ξ
1
+ξ
2
不是A的特征向量．
解析
本题主要考查矩阵特征值、特征向量的概念和属于不同特征值的特征向量线性无关这一知识点．利用反证法可证明本题．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/imN4777K
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考研数学二
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