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求下列方程的通解: (Ⅰ)y′=[sin(lnχ)+cos(lnχ)+a]y; (Ⅱ)χy′=+y.
求下列方程的通解: (Ⅰ)y′=[sin(lnχ)+cos(lnχ)+a]y; (Ⅱ)χy′=+y.
admin
2018-08-12
56
问题
求下列方程的通解:
(Ⅰ)y′=[sin(lnχ)+cos(lnχ)+a]y;
(Ⅱ)χy′=
+y.
选项
答案
(Ⅰ)属变量可分离的方程.分离变量改写为 [*]=(sinlnχ+coslnχ+a)dχ. 两端求积分,由于∫sin(lnχ)dχ=χsin(lnχ)-∫χ.cos(lnχ).[*]dχ=χsin(lnχ)-∫cos(lnχ)dχ, 所以通解为ln|y|=χsin(lnχ)+aχ+C
1
,或y=Ce
χsinχ(lnχ)+aχ
,其中C为任意常数. (Ⅱ)属齐次方程.令y=χu,并且当χ>0时,原方程可化为 [*] 两端求积分,则得arcsinu=lnχ+C,即其通解为arcsin[*]=lnχ+C,其中C为任意常数.当χ<0时,上面的方程变为[*],其通解应为arcsin[*]=-ln|χ|+C,其中C为任意常数. 所得通解公式也可统一为y=|χ|sin(ln|χ|+C).此处还需注意,在上面作除法过程中丢掉了两个特解u=±1,即y=±χ.
解析
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