(2003年试题，七)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数．

admin2021-01-19 44

问题 (2003年试题，七)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数．

选项

答案由题设，讨论曲线y=41nx+k与y=4x+1n⁴x的交点个数，等价于考虑函数f(x)=ln⁴x+4x一41nx一k的零点个数，即f(x)=0的根的个数，[*]由f^’(x)=0得驻点x=1．当0’(x)<0，所以f(x)严格单调递减；当x>1时f^’(x)>0，所以f^’(x)严格单调递增．因此x=1是f(x)的极小值点，同时也就是最小值点，且f(1)=4一k．当4一k>0时，即k<4,f(x)无零点，即两曲线无交点；当4一k=0时，即k=4f(x)有唯一零点，即两曲线有唯一交点(1，4)；当4一k<0时，即k>4，由于[*]且[*]结合f(x)在区间(0，1)及(1，+∞)上的单调性，知此时f(x)有两个零点，即两曲线有两个交点．

解析构造辅助函数应坚持将参数分离开的原则，以便求解．

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考研数学二

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