(2003年试题,七)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

admin2021-01-19  41

问题 (2003年试题,七)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

选项

答案由题设,讨论曲线y=41nx+k与y=4x+1n4x的交点个数,等价于考虑函数f(x)=ln4x+4x一41nx一k的零点个数,即f(x)=0的根的个数,[*]由f(x)=0得驻点x=1.当0’(x)<0,所以f(x)严格单调递减;当x>1时f(x)>0,所以f(x)严格单调递增.因此x=1是f(x)的极小值点,同时也就是最小值点,且f(1)=4一k.当4一k>0时,即k<4,f(x)无零点,即两曲线无交点;当4一k=0时,即k=4f(x)有唯一零点,即两曲线有唯一交点(1,4);当4一k<0时,即k>4,由于[*]且[*]结合f(x)在区间(0,1)及(1,+∞)上的单调性,知此时f(x)有两个零点,即两曲线有两个交点.

解析 构造辅助函数应坚持将参数分离开的原则,以便求解.
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