设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A—6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是________。

admin2019-07-17 49

问题设A是三阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A—6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是________。

选项

答案k＞2

解析将A³=2A²+5A—6E变形可得
A³—2A²—5A+6E=O。
设A有特征值λ，则λ满足
λ³—2λ²—5λ+6=0，
因式分解得 λ³—2λ²—5λ+6=(λ—1)(λ+2)(λ—3)=0，
故A的特征值是1，—2，3，因此kE+A的特征值为k+1，k—2，k+3。由于kE+A是正定矩阵，因此kE+A的特征值均大于零，故k＞2。

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