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设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A—6E,且kE+A是正定矩阵,则k的取值范围是________。
设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A—6E,且kE+A是正定矩阵,则k的取值范围是________。
admin
2019-07-17
71
问题
设A是三阶实对称矩阵,满足A
3
=2A
2
+5A—6E,且kE+A是正定矩阵,则k的取值范围是________。
选项
答案
k>2
解析
将A
3
=2A
2
+5A—6E变形可得
A
3
—2A
2
—5A+6E=O。
设A有特征值λ,则λ满足
λ
3
—2λ
2
—5λ+6=0,
因式分解得 λ
3
—2λ
2
—5λ+6=(λ—1)(λ+2)(λ—3)=0,
故A的特征值是1,—2,3,因此kE+A的特征值为k+1,k—2,k+3。由于kE+A是正定矩阵,因此kE+A的特征值均大于零,故k>2。
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考研数学二
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