2. 考研
  3. 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A—6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是________。

设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A—6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是________。

admin2019-07-17  71
问题 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A—6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是________。
选项
答案k＞2
解析 将A3=2A2+5A—6E变形可得
A3—2A2—5A+6E=O。
设A有特征值λ，则λ满足
λ3—2λ2—5λ+6=0，
因式分解得    λ3—2λ2—5λ+6=(λ—1)(λ+2)(λ—3)=0，
故A的特征值是1，—2，3，因此kE+A的特征值为k+1，k—2，k+3。由于kE+A是正定矩阵，因此kE+A的特征值均大于零，故k＞2。
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考研数学二

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