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  3. 设f(x)在[a，b]上连续（a＜b），且f(x)＞0。证明方程。

设f(x)在[a，b]上连续（a＜b），且f(x)＞0。证明方程。

admin2015-07-15  48
问题 设f(x)在[a，b]上连续（a＜b），且f(x)＞0。证明方程。
选项
答案证明：①令F(x)=∫axf(t)dt+[*]， 根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导。 又F(a)=∫aaf(t)dt+[*]<0，(f(x)>0) F(b)=∫abf(t)dt+[*]=∫abf(t)dt＞0，(f(x)>0) ∴由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根。 ②又F’(x)=f(x)+[*]>0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内至少有一个实根。故由①、②知，方程∫axf(t)dt+[*]=0在(a，b)内有且仅有一个实根。
解析
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