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  3. 设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

admin2016-06-30  35
问题 设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．
选项
答案因A、B正定，有AT＝A，BT＝B，故(AB)T＝BTAT＝BA－AB，即AB也是对称矩阵．因A正定，存在正定阵S，使A＝S2，于是S-1(AB)S＝S-1SSBS＝SBS＝STBS，由于B正定，故与B合同的矩阵STBS正定，故STBS的特征值全都大于零，而S-1(AB)S＝STBS，说明AB与STBS相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故AB的特征值(即STBS的特征值)全都大于零，因而对称阵AB正定．
解析
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考研数学二

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