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考研
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
admin
2016-06-30
40
问题
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
选项
答案
因A、B正定,有A
T
=A,B
T
=B,故(AB)
T
=B
T
A
T
=BA-AB,即AB也是对称矩阵.因A正定,存在正定阵S,使A=S
2
,于是S
-1
(AB)S=S
-1
SSBS=SBS=S
T
BS,由于B正定,故与B合同的矩阵S
T
BS正定,故S
T
BS的特征值全都大于零,而S
-1
(AB)S=S
T
BS,说明AB与S
T
BS相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故AB的特征值(即S
T
BS的特征值)全都大于零,因而对称阵AB正定.
解析
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