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设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,<0.证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,<0.证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
admin
2022-09-22
83
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,
<0.证明:
(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
选项
答案
(I)由于[*]<0,根据极限的保号性,可知[*]δ>0,对[*]x∈(0,δ),有[*]<0,即f(x)<0,其中δ是任意小的正数,可取0<δ<1.从而[*]x
0
∈(0,δ),使得f(x
0
)<0. 又f(x)在[0,1]上具有二阶导数,因此f(x)在[0,1]上连续.由f(x
0
)<0,f(1)>0,根据零点定理,可知至少存在一点ξ∈(x
0
,1),使得f(ξ)=0,即方程f(x)在区间(0,1)内至少存在一个实根.问题得证. (Ⅱ)令F(x)=-f(x)f’(x),则F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
. 由于f(x)连续,且[*]存在,而分母趋于零,则[*]f(x)=f(0)=0. 又由(I)知f(ξ)=0,由罗尔定理,可知[*]η∈(0,ξ),使f’(η)=0. 从而 F(0)=f(0)f’(0)=0,F(η)=f(η)f’(η)=0,F(ξ)=f(ξ)f’(ξ)=0. 由罗尔定理知存在η
1
∈(0,η),使F’(η
1
)=0,存在η
2
∈(η,ξ),使F’(η
2
)=0. 因此,可知η
1
和η
2
是方程f(x)f”(x)+[f’(x)]
2
=0的两个不同的实根.问题得证.
解析
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考研数学二
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