2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，＜0．证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，＜0．证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

admin2022-09-22  102
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，＜0．证明：
    (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
    (Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．
选项
答案(I)由于[*]＜0，根据极限的保号性，可知[*]δ＞0，对[*]x∈(0，δ)，有[*]＜0，即f(x)＜0，其中δ是任意小的正数，可取0＜δ＜1．从而[*]x0∈(0，δ)，使得f(x0)＜0． 又f(x)在[0，1]上具有二阶导数，因此f(x)在[0，1]上连续．由f(x0)＜0，f(1)＞0，根据零点定理，可知至少存在一点ξ∈(x0，1)，使得f(ξ)=0，即方程f(x)在区间(0，1)内至少存在一个实根．问题得证． (Ⅱ)令F(x)=-f(x)f’(x)，则F’(x)=f(x)f”(x)+[f’(x)]2． 由于f(x)连续，且[*]存在，而分母趋于零，则[*]f(x)=f(0)=0． 又由(I)知f(ξ)=0，由罗尔定理，可知[*]η∈(0，ξ)，使f’(η)=0． 从而 F(0)=f(0)f’(0)=0，F(η)=f(η)f’(η)=0，F(ξ)=f(ξ)f’(ξ)=0． 由罗尔定理知存在η1∈(0，η)，使F’(η1)=0，存在η2∈(η，ξ)，使F’(η2)=0． 因此，可知η1和η2是方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0的两个不同的实根．问题得证．
解析
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考研数学二

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