已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ).

admin2016-06-03  20

问题 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(    ).

选项 A、既不充分也不必要条件
B、充分而不必要条件
C、必要而不充分条件
D、充要条件

答案D

解析 由题意,f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)为[0,1]上的增函数.所以f(x)在[一1,0]上是减函数.又f(x)是定义在R上的周期函数,且以2为周期,[3,4]与[一1,0]相差两个周期,故两区间上的单调性一致,所以可以得出f(x)为[3,4]上的减函数,故充分性成立.若f(x)为[3,4]上的减函数,由周期性可得出f(x)在[一1,0]上是减函数,再由函数是偶函数可得出f(x)为[0,1]上的增函数,故必要性成立.综上,“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
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