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  3. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的( )．

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的( )．

admin2016-06-03  44
问题 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的(    )．
选项 A、既不充分也不必要条件
B、充分而不必要条件
C、必要而不充分条件
D、充要条件
答案D
解析 由题意，f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)为[0，1]上的增函数．所以f(x)在[一1，0]上是减函数．又f(x)是定义在R上的周期函数，且以2为周期，[3，4]与[一1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f(x)为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f(x)为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f(x)在[一1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f(x)为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的充要条件．
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