2. 考研
  3. 设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明： (b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx． (*)

设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明： (b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx． (*)

admin2017-05-31  115
问题 设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明：
(b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．    (*)
选项
答案引进辅助函数 F(x)=(x－a)∫axf(t)g(t)dt－∫axf(t)dt∫axg(t)dt 转化为证明F(x)≥0(x∈[a，b])． 由F(a)=0， F’(x)=∫axf(t)g(t)dt+(x－a)f(x)g(x)－f(x)∫axg(t)dt－g(x)∫axf(t)dt =∫axf(t)[g(t)－g(x)]dt－∫axf(x)[[g(t)－g(x)]dt =∫ax[f(t)－f(x)][g(t)－g(x)]dt≥0(x∈[a，b]) 其中(x－a)f(x)g(x)=∫axf(x)g(x)dt，我们可得F(x)在[a，b]单调不减=>F(x)≥F(a)=0(x∈[a，b])，特别有 F(b)≥0 即原式成立．
解析
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考研数学二

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