设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2

admin2017-03-15  34

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒为1,求曲线y=y(x)的方程.

选项

答案设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为 Y一y=y’(X—x), [*] 并且y’(0)=1,两边对x求导并化简得yy"=(y’)2,这是可降阶的二阶常微分方程,令p=y’,则上述方程可化 [*] 根据y’(0)=1,y(0)=1,可得C1=1,C2=1. 故所求曲线的方程为y=ex

解析
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