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设二次型xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=。 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
设二次型xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=。 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
admin
2017-11-30
23
问题
设二次型x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
一x
3
2
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=
。
用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
选项
答案
二次型对应的实对称矩阵为A=[*],因为AB=O,所以 [*] 得A的特征值为0,6,一6。 当λ=0时,求解线性方程组(OE—A)x=0,解得α
1
=(1,0,1)
T
; 当λ=6时,求解线性方程组(6E—A)x=0,解得α
2
=(一1,一2,1)
T
; 当λ=一6时,求解线性方程组(一6E—A)x=0,解得α
3
=(一1,1,1)
T
。 下将α
1
,α
2
,α
3
单位化 [*] 则二次型在正交变换X=Qy的标准形为f=6y
2
2
一6y
3
2
,其中 Q=[*]。
解析
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0
考研数学二
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