设二次型xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=。用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；

admin2017-11-30 43

问题设二次型x^TAx=ax₁²+2x₂²一x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=

。
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；

选项

答案二次型对应的实对称矩阵为A=[*]，因为AB=O，所以 [*] 得A的特征值为0，6，一6。当λ=0时，求解线性方程组(OE—A)x=0，解得α₁=(1，0，1)^T；当λ=6时，求解线性方程组(6E—A)x=0，解得α₂=(一1，一2，1)^T；当λ=一6时，求解线性方程组(一6E—A)x=0，解得α₃=(一1，1，1)^T。下将α₁，α₂，α₃单位化 [*] 则二次型在正交变换X=Qy的标准形为f=6y₂²一6y₃²，其中 Q=[*]。

解析

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考研数学二

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设二次型xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=。用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；

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