2. 职业资格
  3. 案例： 某学生在做题目“求过点(0，1)的直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个交点”的解题过程如下：设所求的过点(0，1)的直线为y＝，则它与抛物线的交点为，消去y得，一2x＝0，整理得－2)x＋1＝0． 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以△＝0，解得．

案例： 某学生在做题目“求过点(0，1)的直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个交点”的解题过程如下：设所求的过点(0，1)的直线为y＝，则它与抛物线的交点为，消去y得，一2x＝0，整理得－2)x＋1＝0． 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以△＝0，解得．

admin2020-04-30  53
问题 案例：
某学生在做题目“求过点(0，1)的直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个交点”的解题过程如下：设所求的过点(0，1)的直线为y＝，则它与抛物线的交点为，消去y得，一2x＝0，整理得－2)x＋1＝0．
因为直线与抛物线仅有一个交点，所以△＝0，解得．
所以所求直线为．
问题：
(1)指出学生的错误之处；
(2)分析学生的错误原因；
(3)写出正确解法．
选项
答案(1)此题解法共有三处错误： 第一，设所求直线为[*]时，没有考虑[*]与斜率不存在的情形，实际上就是默认该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严谨的． 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况．原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透． 第三．将直线方程与抛物线方程联立后得到一个一元二次方程，除了要考虑它的判别式，还要考虑它的二次项系数不能为零的情况，即[*]，而上述解法没做考虑，表现出思维不严密． (2)高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略．如果学生没有考虑到直线存在的特殊情况以及相交只有一个交点时的特殊情况，均有可能导致题目解析错误，说明学生审题不认真，对于直线的表示形式没有理解透彻，也没有掌握一定的做题方法，如数形结合．对于教师来说，缺乏对学生在该方面的引导以及对该知识点重要性的强调，同时带领学生做同类型题目较少． (3)①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0，1)，所以x＝0，即该直线为y轴，它正好与抛物线y2＝2x相切．②当所求直线斜率为零时，直线为y＝1平行于x轴，它正好与抛物线y2＝2x只有一个交点．③一般地，设所求的过点(0，1)的直线为[*]，则[*]，整理得[*]，令△＝0，解得[*]，所以所求直线为[*]．综上，满足条件的直线为x＝0，y＝1，[*]．
解析
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