首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。 (Ⅰ)证明F’(x)单调增加; (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值; (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)—a2—1时,求函数f(x)。
设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。 (Ⅰ)证明F’(x)单调增加; (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值; (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)—a2—1时,求函数f(x)。
admin
2017-12-29
19
问题
设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x—t|f(t)dt。
(Ⅰ)证明F’(x)单调增加;
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值;
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)—a
2
—1时,求函数f(x)。
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt=∫
—a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt — x∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(x)dt一∫
—a
x
tf(t)dt —∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt, F’(x)=f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+ ∫
a
x
f(t)dt+xf(x)=∫
—a
x
f(t)dt一∫
x
a
f(t)dt。 所以F"(x)=2f(x)>0,因此F"(x)为单调增加的函数。 (Ⅱ)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx,且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)> 0,所以x=0为F(x)的唯一极小值点,也为最小值点,且最小值为 F(0)=∫
—a
a
|t|(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt。 (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt= f(a)一a
2
—1,两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a, 于是 f’(x)—2xf(x)=2x, 解得 f(x)=[∫2xe
—∫2xdx
dx+C]e
—∫2xdx
=Cex
2
—1。 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
—1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是 f(x)= 2ex
2
—1。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jhX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求
设f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0<x<1),则f(x)=________.
积分=()
设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф(x)=φ(x),Ф(0)=0.求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解;
微分方程=0的通解是()
求函数z=x2+y2+2x+y在区域D:x2+y2≤1上的最大值与最小值.
设A,B为同阶方阵,举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;
设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds,求f(t).
设f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是()
设f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是
随机试题
为人民服务的高层次要求是()。
管理方格图中,(9,1)型对应的领导方式是()。
Foryears,theTobaccoInstitutehastriedunsuccessfullytorefute(反驳)thechargebyhealthexpertsthatcigarettesmokingcan
某公司生产主产品的同时,还生产了某种副产品,副产品分离后需要进一步加工,才可以对外出售,共发生联合成本80000元,副产品进一步加工发生成本5000元,当月完工主产品500件,副产品100件,副产品的市场销售价格为每件112.5元,单位税金和利润为25
2,4,12,48,240,()
新中国的区域与城市规划始于20世纪50年代,目前在空间规划上已初步形成了八个主要__________,按照从小到大的顺序,依次是乡村规划、小城镇规划、城市规划、大都市规划、大都市区规划、大都市圈规划、城市群规划和湾区规划。但由于缺乏系统的_________
中国人学外语时,汉语的语音具有()作用。
在我国,行使违宪制裁权的国家机关是()
为了保证公司网络的安全运行,预防计算机病毒的破坏,可以在计算机上采取以下哪种方法()。
Whatisthespeakermainlydiscussing?
最新回复
(
0
)