设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。 (Ⅰ)证明F’(x)单调增加; (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值; (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)—a2—1时,求函数f(x)。

admin2017-12-29  19

问题 设f(x)为[—a,a]上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt。
(Ⅰ)证明F’(x)单调增加;
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值;
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)—a2—1时,求函数f(x)。

选项

答案(Ⅰ)F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt=∫—ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt+∫xatf(t)dt — x∫xaf(t)dt =x∫—axf(x)dt一∫—axtf(t)dt —∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt, F’(x)=f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+ ∫axf(t)dt+xf(x)=∫—axf(t)dt一∫xaf(t)dt。 所以F"(x)=2f(x)>0,因此F"(x)为单调增加的函数。 (Ⅱ)因为F’(0)=∫—a0f(x)dx一∫0af(x)dx,且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)> 0,所以x=0为F(x)的唯一极小值点,也为最小值点,且最小值为 F(0)=∫—aa|t|(t)dt=2∫0atf(t)dt。 (Ⅲ)由2∫0atf(t)dt= f(a)一a2—1,两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a, 于是 f’(x)—2xf(x)=2x, 解得 f(x)=[∫2xe—∫2xdxdx+C]e—∫2xdx=Cex2—1。 在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是 f(x)= 2ex2—1。

解析
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