求曲线x=acos3t,y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

admin2016-10-26  22

问题 求曲线x=acos3t,y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

选项

答案如图3.30,曲线关于y=±x对称,只需考察t∈[*]一段曲线.现在没有现成的公式可用.用微元法导出旋转面的面积公式.任取曲线的小微元,端点坐标为(x(t),y(t))=(acos3t,asin3t),它到直线y=x的距离为l(t)=[*] [*] 曲线微元的弧长ds=[*]dt=3a|sintcost|dt,它绕y=x旋转所得曲面微元的面积为ds=2πl(t)ds=2π[*].3a|sintcost|dt,因此整个旋转面的面积为 [*]

解析
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