已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．证明： (1)y(x)＜y0－arctanx0；(2)均存在．

admin2020-03-10 104

问题已知y=y(x)是微分方程(x²+y²)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x₀，记y₀=y(x₀)．证明：
(1)y(x)＜y₀

－arctanx₀；(2)

均存在．

选项

答案本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题． (1)将微分方程(x²+y²)dy=dx－dy变形为[*]＞0，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．对dy=[*]dx两边从x₀到x积分，得 [*] 设x≥x₀，则 y(x)≤y(x₀)+[*]=y(x₀)+arctanx－arctanx₀ ＜y₀+[*]－arctanx₀． (2)y(x)有上界，所以[*]y(x)存在．同理可证，当x≤x₀时，y(x)有下界，所以[*]y(x)也存在．故[*]y(x)存在，[*]y(x)也存在．

解析

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考研数学三

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已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．证明： (1)y(x)＜y0－arctanx0；(2)均存在．

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