下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )

admin2019-01-06  40

问题 下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是(     )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析 选项A是实对称矩阵,实对称矩阵必可以相似对角化。
选项B是下三角矩阵,主对角线元素就是矩阵的特征值,因而矩阵有三个不同的特征值,所以矩阵必可以相似对角化。
选项C是秩为1的矩阵,由|λE—A|=λ3—4λ2,可知矩阵的特征值是4,0,0。对于二重根λ=0,由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E—A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量,即λ=0时有两个线性无关的特征向量,从而矩阵必可以相似对角化。
选项D是上三角矩阵,主对角线上的元素1,1,—1就是矩阵的特征值,对于二重特征值λ=1,由秩

可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解,即λ=1时只有一个线性无关的特征向量,故矩阵必不能相似对角化,所以应当选D。
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