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  3. 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

admin2022-11-23  26
问题 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?
选项
答案设x0为f(x)在区间I上的第一类间断点，则分两种情况讨论． (1)若x0为f(x)的可去间断点． 反证法．若f(x)在I上有原函数F(x)，则在U(x0；δ)(δ＞0)内由拉格朗日中值定理有 F(x)=F(x0)+F’(ξ)(x-x0)=F(x0)+f(ξ)(x-x0)， ξ在x0和x之间．而 f(x0)=F’(x0)=[*] 这与x0为f(x)的可去间断点是矛盾的，故F(x)不存在． (2)若x0为f(x)的跳跃间断点． 反证法．若f(x)在区间I上有原函数F(x)，则亦有F’(x0)=[*]f(ξ)=f(x0)成立．而 f(x0-0)=F’-(x0)=f(x0)=F’+(x0)=f(x0+0)． 这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．
解析
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考研数学一

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