已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2017-12-29 59

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）^T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，（1，一1，1）^T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x₁，x₂，x₃）^T，则有（x₁，x₂，x₃）[*]=0，（x₁，x₂，x₃）[*] 由方程组[*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，一1）^T。 [*] 因此 x^T=[*]（x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₃），令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TΛy=3y₁²一y₃²。

解析

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考研数学三

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

考研数学三

设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

设随机变量X的概率密度为求X的分布函数．

设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

设又f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

设函数f(x)＝(x—x0)nφ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x＝x0时连续．(1)证明f(x)在点x＝x0处可导；(2)若φ(x)≠0，问函数f(x)在x＝x0处有无极值，为什么?

判别下列正项级数的敛散性：(Ⅰ)，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．

设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)．

设f（x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（）

男性，30岁，左膝关节肿胀、疼痛，伴低热、盗汗、纳差3个月。查体：消瘦、贫血面容，体温37℃，血沉50mm／h，左膝关节梭形肿胀，浮髌试验阳性。X线片示关节间隙增宽，骨质疏松，未见骨质破坏。

患儿，男，4个月，因咳嗽、咳痰2d，气急伴发绀2h入院。体检：体温38.7℃、呼吸80次/分，两肺均有细湿啰音，心率180次/分，心音低钝，肝肋下4cm。给予患儿下列何种体位（）

A．二甲双胍B．甲苯磺丁脲C．胰岛素皮下注射D．磺酰脲类药物口服E．胰岛素注射

甲状旁腺功能亢进骨病的特征性影像学表现是

A．清热利湿B．解表化湿C．温脾化湿D．运脾燥湿E．利水渗湿胎黄寒湿阻滞证的治法是

疏散肝经风热，明目退翳首选清肝胆经邪热，兼可燥湿首选

张军与赵妹于1998年8月结婚，2001年5月二人因感情不和协议离婚。下列各项属于夫妻共同财产的有：()

关于宋词，下列说法不正确的是()。

利用fseek函数可实现的操作是()。

若变量已正确定义为int型，要通过语句scanf("％d，％d，％d"，&a，&b，&c)；给a赋值1、给b赋值2、给c赋值3，以下输入形式中错误的是(注：□代表一个空格符)()。

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