已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2017-12-29 73

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）^T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，（1，一1，1）^T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x₁，x₂，x₃）^T，则有（x₁，x₂，x₃）[*]=0，（x₁，x₂，x₃）[*] 由方程组[*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，一1）^T。 [*] 因此 x^T=[*]（x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₃），令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TΛy=3y₁²一y₃²。

解析

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考研数学三

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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已知ξ=[1，1，一1]T是矩阵的一个特征向量．A是否相似于对角阵，说明理由．

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

设A是三阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，一1]T，ξ2=[一1．，2，2]T，ξ3=[2，一1，2]T．又β=[1，2，3]T．计算：Anξ1；

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt．证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

计算(a＞0是常数)．

证明：

设出售某种商品，已知某边际收益是R(x)=(10—x)e-x，边际成本是C(x)=(x2一4x+6)e-x，且固定成本是2，求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润．

证明：级数条件收敛．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意给定的正数a，b，在(0，1)内存在不同的点ξ，η，使=a+b．

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关于正、反循环钻孔施工的说法，正确的有()。

某高层宾馆建成后为11层，建筑高度为50m，在建设时要考虑是否设置避难层，根据有关规定，建筑高度超过()的公共建筑和住宅建筑应设置避难层。

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Valentine’sDaymaycomefromtheancientRomanfeastofLupercalia.(1)_____thefiercewolvesroamednearby,theoldRomansca

A、Hersisterisafashionablewoman.B、Hersisterisdesigningadress.C、HersisterisstudyingSpanish.D、Hersisterisinthe

Formanypeopletoday,readingisnolongerrelaxation.Tokeepuptheirworktheymustreadletters,reports,tradepublication

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