设a0，a1，…，an为满足式子的实数．试证：方程a0＋a1x＋a2x2＋…＋ann＝0在(0，1)内至少有一个实根．

admin2021-08-18 16

问题设a₀，a₁，…，a_n为满足式子

的实数．试证：方程a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nⁿ＝0在(0，1)内至少有一个实根．

选项

答案设[*]，则f’(x)＝a₀＋a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ．显然f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝f(0)＝0．故由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝0，即，a₀＋a₁ξ＋a₁ξ²＋…＋a_nξⁿ＝0．这就是说，方程a₀＋a₁x＋a₁x²＋…＋a_nxⁿ＝0在(0，1)内至少有一实根．

解析

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