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  3. 已知F(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且∫0πF(x)dx=2π，则F(x)=_________．

已知F(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且∫0πF(x)dx=2π，则F(x)=_________．

admin2017-10-23  25
问题 已知F(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且∫0πF(x)dx=2π，则F(x)=_________．
选项
答案xsinx+cosx+1
解析 由题设及原函数存在定理可知∫f(x)dx=F(x)=∫0xtcostdt+C0，其中C0为某常数，从而
    F(x)=∫0xtd(sint)+C0=tsint｜0x一∫0xsintdt+C0=xsinx+cosx+C0一1．
又∫0πF(x)dx=∫0πxsinxdx+∫0πcosxdx+(C0一1)π=C0一π=2π，解得C0=2，于是
    F(x)=xsinx+cosx+1．
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考研数学三

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