已知F(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且∫0πF(x)dx=2π，则F(x)=_________．

admin2017-10-23 29

问题已知F(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且∫₀^πF(x)dx=2π，则F(x)=_________．

选项

答案xsinx+cosx+1

解析由题设及原函数存在定理可知∫f(x)dx=F(x)=∫₀^xtcostdt+C₀，其中C₀为某常数，从而
F(x)=∫₀^xtd(sint)+C₀=tsint｜₀^x一∫₀^xsintdt+C₀=xsinx+cosx+C₀一1．
又∫₀^πF(x)dx=∫₀^πxsinxdx+∫₀^πcosxdx+(C₀一1)π=C₀一π=2π，解得C₀=2，于是
F(x)=xsinx+cosx+1．

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