2. 考研
  3. 设α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，一1，7)T． (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a． (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． (Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2

设α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，一1，7)T． (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a． (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． (Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2

admin2021-05-20  9
问题 设α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，一1，7)T．
    (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a．
    (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
    (Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
选项
答案①α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3． [*] 得a=一3． ②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组 [*] 的非零解，解此方程组： [*] 解得α4=c(19，一6，0，1)T，c≠0． ③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示． 由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示． 用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4=c1α1+c2α2+c3α3，则 (α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)=0． 得α4=0，与α4是非零向量矛盾．
解析
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考研数学一

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