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设有抛物线C1:χ2=ay和圆C2:χ2+y2=2y. (Ⅰ)确定a的取值范围,使得C1,C2交于三点O,M,P(如图); (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值; (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕χ轴旋转一
设有抛物线C1:χ2=ay和圆C2:χ2+y2=2y. (Ⅰ)确定a的取值范围,使得C1,C2交于三点O,M,P(如图); (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值; (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕χ轴旋转一
admin
2017-11-21
59
问题
设有抛物线C
1
:χ
2
=ay和圆C
2
:χ
2
+y
2
=2y.
(Ⅰ)确定a的取值范围,使得C
1
,C
2
交于三点O,M,P(如图);
(Ⅱ)求抛物线C
1
与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值;
(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V.
选项
答案
(Ⅰ)由[*]得ay+y
2
=2y 解得y=0,y=2-a,由0<y=2-a<2,可得0<a<2.此时C
1
与C
2
的三交点是 0(0,0),M(-[*],2-a),P([*],2-a). (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 S(a)=[*](0<a<2) 要使S(a)最大,只要f(a)=a(2-a)
3
最大(0<a<2).由于是 f′(a)=(2-a)
3
-3a(2-a)
2
=2(2-a)
2
(1-2a)[*] [*]时,f([*])最大.此时所求面积的最大值 S
max
=[*] (Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为 [*]
解析
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考研数学二
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