2. 考研
  3. 设函数f(x)在[－2，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，又f2(0)+[fˊ(0)]2=4． 试证：在(－2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0．

设函数f(x)在[－2，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，又f2(0)+[fˊ(0)]2=4． 试证：在(－2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0．

admin2016-09-13  57
问题 设函数f(x)在[－2，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，又f2(0)+[fˊ(0)]2=4．
试证：在(－2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0．
选项
答案f(0)－f(－2)=2fˊ(ξ1)，－2＜ξ1＜0， f(2)－f(0)=2fˊ(ξ2)，0＜ξ2＜2． 由｜f(x)｜≤1知｜fˊ(ξ1)｜=[*]≤1，｜fˊ(ξ2)｜=[*]≤1． 令φ(x)=f2(x)+[fˊ(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2． 因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2][*](－2，2)上取，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有：φˊ(ξ)=0，即 2f(ξ)fˊ(ξ)+2ˊ(ξ)fˊˊ(ξ)=0． 因为｜f(x)｜≤1，且φ(ξ)≥4，所以fˊ(ξ)≠0，于是有f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0，ξ∈(－2，2)．
解析
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考研数学三

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