设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[fˊ(0)]2=4. 试证:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0.

admin2016-09-13  29

问题 设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[fˊ(0)]2=4.
试证:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0.

选项

答案f(0)-f(-2)=2fˊ(ξ1),-2<ξ1<0, f(2)-f(0)=2fˊ(ξ2),0<ξ2<2. 由|f(x)|≤1知|fˊ(ξ1)|=[*]≤1,|fˊ(ξ2)|=[*]≤1. 令φ(x)=f2(x)+[fˊ(x)]2,则有φ(ξ1)≤2,φ(ξ2)≤2. 因为φ(x)在[ξ1,ξ2]上连续,且φ(0)=4,设φ(x)在[ξ1,ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1,ξ2][*](-2,2)上取,则φ(ξ)≥4,且φ在[ξ1,ξ2]上可导,由费马定理有:φˊ(ξ)=0,即 2f(ξ)fˊ(ξ)+2ˊ(ξ)fˊˊ(ξ)=0. 因为|f(x)|≤1,且φ(ξ)≥4,所以fˊ(ξ)≠0,于是有f(ξ)+fˊˊ(ξ)=0,ξ∈(-2,2).

解析
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