求微分方程y"－3y’+2y=2xex的通解。

admin2019-02-26 29

问题求微分方程y"－3y’+2y=2xe^x的通解。

选项

答案所对应齐次方程y"－3y’+2y=0的特征方程为λ²－3λ+2=0，由此解得λ₁=2，λ₂=1。因此对应齐次方程的通解为 y=C₁e^2x+C₂e^x。 x=1是特征方程的一个单根，故设非齐次方程的特解为y^*=(ax+b)xe^x，则 (y^*)’=[ax²+(2a+b)x+b]e^x，(y^*)"=[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e^x，代入原方程得a=－1，b=－2，即y^*=－(x+2)Xe^x。从而所求解为y=C₁e^2x+C₂e^x－x(x+2)e^x，其中C₁，C₂为任意常数。

解析

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考研数学一

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