设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )

admin2018-08-22 40

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )

选项 A、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃一α₁
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃
C、α₁+2α₂，2α₂+3α₃，3α₃+α₁
D、α₁+α₂+α₃，2α₁—3α₂+22α₃，3α₁+5α₂—5α₃

答案C

解析因(A)α₁+α₂一(α₂+α₃)+α₃一α₁=0；(B)α₁+α₂+α₂+α₃一(α₁+2α₂+α₃)=0；(D)一19(α₁+α₂+α₃)+2(2α₁—3α₂+22α₃)+5(3α₁+5α₂—5α₃)=0，故(A)，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关．对(C)，若存在数k₁，k₂，k₃使得
k₁(α₁+2α₂)+k₂(2α₂+3α₃)+k₃(3α₃+α₁)=0，
整理得：(k₁+k₃)α₁+(2k₁+2k₂)α₂+(3k₂+3k₃)α₃=0．
因α₁，α₂，α₃线性无关，得

又

式①只有零解，从而知原向量组线性无关．

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考研数学二

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