证明：x－x2＜ln(1+x)＜x(x＞0)．

admin2018-06-15 5

问题证明：x－

x²＜ln(1+x)＜x(

x＞0)．

选项

答案(Ⅰ)对F(t)=ln(1+t)在[0，x]区间用拉格朗日中值定理得 [*] 其中c∈(0，x)．因此ln(1+x)＜x(x＞0)． (Ⅱ)对f(t)=ln(1+t)与g(t)=t[*]t²在[0，x]区间用柯西中值定理得 [*] 其中c∈(0，x)．当x＞0且x－[*]x²＞0时，1＞1－c²＞0[*]＞1 [*]ln(1+x)＞x－[*]x²．若x＞0，x－[*]x²≤0，上式显然成立．因此ln(1+x)＞x－[*]x²(x＞0)．

解析

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