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[2012年] 已知二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. 求正交变换X=QY将f化为标准形.
[2012年] 已知二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. 求正交变换X=QY将f化为标准形.
admin
2019-06-25
75
问题
[2012年] 已知
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
(A
T
A)X的秩为2.
求正交变换X=QY将f化为标准形.
选项
答案
令[*] [*] 故B=A
T
A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0. 解(2E-B)X=0,得线性无关的特征向量α
1
=[1,-1,0]
T
; 解(6E-B)X=0,得线性无关的特征向量α
2
=[1,1,2]
T
; 解(0E-B)X=0,得线性无关的特征向量α
3
=[1,1,-1]
T
. 因λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,B为实对称矩阵,故α
1
,α
2
,α
3
必正交,故只需单位化,得到 [*] 令Q=[β
1
,β
2
,β
3
],则Q为正交矩阵,在正交变换X=QY下,有 Q
T
BQ=Q
T
(A
T
A)Q=A=diag(2,6,0), 即二次型f化为标准形f=2y
1
2
+6y
2
2
.
解析
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0
考研数学三
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