2. 考研
  3. [2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也

[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也

admin2019-05-10  44
问题 [2001年]  设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系：
    β1=t1α1+t2α2，  β2=t1α2+t2α3，  …，  βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为AX=0的一个基础解系．
选项
答案 为证β1，β2，…，βs为AX=0的基础解系，需证β1，β2，…，βs为AX=0的解，且β1，β2，…，βs线性无关，s=n一秩(A)．其关键是要证明β1，β2，…，βs线性无关． 由α1，α2，…，αs为AX=0的基础解系知，s=n一秩(A)，因β1，β2，…，βs均为α1，α2，…，αs的线性组合，而α1，α2，…，αs又为AX=0的解，根据齐次方程解的性质知，βi(i=1，2，…，s)为AX=0的解．下面证β1，β2，…，βs线性无关，给出两种证法． 证一 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即 (t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0． 由于α1，α2，…，αs线性无关，于是得 [*]① 因方程组①的系数矩阵的行列式为 [*]=t1s+(一1)s+1t2． 故当t1s+(一1)s+1t2s≠0时，方程组①只有零解k1=k2=…一ks=0，从而β1，β2，…，βs线性无关，即当S为偶数时，t1≠±t2，s为奇数，当t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，从而β1，β2，…，βs也为AX=0的一个基础解系． 证二 由命题2．3．2．4知，当t1s+(一1)s+1t2≠0时，β1，β2，…，βs线性无关．即得：当s为偶数，t1≠±t2；当s为奇数，t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，从而β1，β2，…，βs，也为AX=0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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