[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也

admin2019-05-10 55

问题 [2001年] 设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组AX=0的一个基础解系：
β₁=t₁α₁+t₂α₂， β₂=t₁α₂+t₂α₃， …， β_s=t₁α_s+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s也为AX=0的一个基础解系．

选项

答案为证β₁，β₂，…，β_s为AX=0的基础解系，需证β₁，β₂，…，β_s为AX=0的解，且β₁，β₂，…，β_s线性无关，s=n一秩(A)．其关键是要证明β₁，β₂，…，β_s线性无关．由α₁，α₂，…，α_s为AX=0的基础解系知，s=n一秩(A)，因β₁，β₂，…，β_s均为α₁，α₂，…，α_s的线性组合，而α₁，α₂，…，α_s又为AX=0的解，根据齐次方程解的性质知，β_i(i=1，2，…，s)为AX=0的解．下面证β₁，β₂，…，β_s线性无关，给出两种证法．证一设k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，即 (t₁k₁+t₂k_s)α₁+(t₂k₁+t₁k₂)α₂+(t₂k₂+t₁k₃)α₃+…+(t₂k_s-1+t₁k_s)α_s=0．由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，于是得 [*]① 因方程组①的系数矩阵的行列式为 [*]=t₁^s+(一1)^s+1t₂．故当t₁^s+(一1)^s+1t₂^s≠0时，方程组①只有零解k₁=k₂=…一k_s=0，从而β₁，β₂，…，β_s线性无关，即当S为偶数时，t₁≠±t₂，s为奇数，当t₁≠一t₂时，β₁，β₂，…，β_s线性无关，从而β₁，β₂，…，β_s也为AX=0的一个基础解系．证二由命题2．3．2．4知，当t₁^s+(一1)^s+1t₂≠0时，β₁，β₂，…，β_s线性无关．即得：当s为偶数，t₁≠±t₂；当s为奇数，t₁≠一t₂时，β₁，β₂，…，β_s线性无关，从而β₁，β₂，…，β_s，也为AX=0的一个基础解系．

解析

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考研数学二

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[2001年] 设α1，α2，…，αs为线性方程组AX=0的一个基础解系： β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3， …， βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也

考研数学二

设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．

设χ＞0，可微函数y＝f(χ)与反函数χ＝g(y)满足∫0f(χ)g(t)dt＝，求f(χ)．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

f(χ)在[－1，1]上连续，则χ＝0是函数g(χ)＝的()．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(I)中的x0是唯一的。

求初值问题的解。

设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．

设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2-x。)dt，且当x→0时，F(x)～x，求n及f’(0)．

Fromnowon,neverspendyourprecioustimethinkingofreasonsforyourfailuresandshortcomings.Instead,realizethatthese

乡政府批准吴某建房的申请的行为属于(　　)。如申某与崔某申请复议，应当向(　　)提出。

修建性详细规划的基本特点是()

地下连续墙()。

生石灰是由主要成分为(　　)的石灰石，在适当温度下煅烧出来的。

具有多媒体功能的微机系统常用CD_ROM作外存储器，它是()。

若a是float型变量，且a=6，则表达式“a/2+(int)(a+1)%2”的值为【】。

Itookthechildrentothezootodayto______thepartytheymissedtheotherday.

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设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．

设χ＞0，可微函数y＝f(χ)与反函数χ＝g(y)满足∫0f(χ)g(t)dt＝，求f(χ)．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

f(χ)在[－1，1]上连续，则χ＝0是函数g(χ)＝的()．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(I)中的x0是唯一的。

求初值问题的解。

设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．

设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2-x。)dt，且当x→0时，F(x)～x，求n及f’(0)．

Fromnowon,neverspendyourprecioustimethinkingofreasonsforyourfailuresandshortcomings.Instead,realizethatthese

乡政府批准吴某建房的申请的行为属于( )。如申某与崔某申请复议，应当向( )提出。

修建性详细规划的基本特点是()

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生石灰是由主要成分为( )的石灰石，在适当温度下煅烧出来的。

具有多媒体功能的微机系统常用CD_ROM作外存储器，它是()。

若a是float型变量，且a=6，则表达式“a/2+(int)(a+1)%2”的值为【】。

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乡政府批准吴某建房的申请的行为属于(　　)。如申某与崔某申请复议，应当向(　　)提出。

生石灰是由主要成分为(　　)的石灰石，在适当温度下煅烧出来的。