设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.

admin2019-02-23  71

问题 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.

选项

答案函数f(x)在[0,3]上连续,则f(x)在[0,2]上连续,那么其在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M,m≤f(1)≤M,m≤f(2)≤M,[*] 由介值定理知,至少存在一点η∈[0,2],使得[*] 于是便有f(η)=1=f(3),满足罗尔定理条件,于是存在ξ∈(η,3)[*](0,3),使f’(ξ)=0.

解析
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