设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’+(a)=>0,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.

admin2017-10-19  34

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’+(a)=>0,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.

选项

答案由题设 f’+(a)=[*]>0 可知,在(a,b)内至少存在一点x0.使f(x0)>0. 在[a,x0],[x0,b]上分别用拉格朗日中值定理可知:存在d∈(a,x0),c∈(x0,b).使得 [*] 于是由题设可知,f’(x)在[d,c]上连续,在(d,c)内可导. 再由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(d,c)[*](a,b),使得 [*]=f"(ξ)<0.

解析 由拉格朗日中值定理可知,要证f"(ξ)=<0,只要证当d<c时,有f’(c)<0,f’(d)>0.只要证存在点x0∈(a,b),有

由题设可知,只要证f(x0)>0.由已知条件f’+(a)>0可找到这样的点x0
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