过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。

admin2018-05-25 27

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。

选项

答案设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为k=[*]，则切线方程为y—y₀=[*](x一x₀)。它经过点(0，0)，所以一y₀=一x₀[*]，代入求得x₀=1，从而y₀=[*]=e，即切线方程为y=ex。 (Ⅰ)取水平微元为A的面积元素，D的面积 [*] (Ⅱ)如图3—18所示，D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)证明如下所述的型洛必达(L’Hospital)法则：设②存在x0的某去心邻域时，f’(x)与g’(x)都存在，且g’(x)≠0；(Ⅱ)请举例说明：若条件③不成立，但仍可以存在．
设f(x，y)在平面区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上有二阶连续偏导数，且l为D的边界正向一周．
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