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过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D,求 (Ⅰ)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。
过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D,求 (Ⅰ)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。
admin
2018-05-25
78
问题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线,该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形,记为D,求
(Ⅰ)D的面积A;
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。
选项
答案
设切点坐标为P(x
0
,y
0
),于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为k=[*],则切线方程为y—y
0
=[*](x一x
0
)。它经过点(0,0),所以一y
0
=一x
0
[*],代入求得x
0
=1,从而y
0
=[*]=e,即切线方程为y=ex。 (Ⅰ)取水平微元为A的面积元素,D的面积 [*] (Ⅱ)如图3—18所示,D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]
解析
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考研数学一
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