已知椭圆，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，｜MN｜=3， (1)求椭圆的C的标准方程； (2)若A点的坐标为，P为椭圆上任意一点，求｜PA｜+｜PF2｜得取值范围。

admin2017-12-17 26

问题已知椭圆

，F₁，F₂分别为该椭圆的左右焦点，过F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，｜MN｜=3，
(1)求椭圆的C的标准方程；
(2)若A点的坐标为

，P为椭圆上任意一点，求｜PA｜+｜PF₂｜得取值范围。

选项

答案(1)由题干可知，MN为椭圆的通径， [*] (2)椭圆的C的左右焦点分别为F₁(一1，0)，F₀(1，0) ①如图1， [*] 点A和F₂均为定点，当点P在线段AF₂上时，｜PA｜+｜PF₂｜取最小值，此时｜PA｜+｜PF₂｜=｜AF₂｜=[*] ②如图2，｜PA｜+｜PF₂｜=｜PA｜+(2a—｜PF₁｜)=2a+(｜PA｜-｜PF₁｜)，若P，F₁，A三点不共线，在△PF₁A中，｜PA｜-｜PF₁｜＜｜AF₁｜恒成立，若P，F₁，A三点共线，如图3所示，｜PA｜-｜PF₁｜=｜AF₁｜，此时｜PA｜-｜PF₁｜最大，最大值为｜AF₁｜，故｜PA｜+｜PF₂｜取最大值时，｜PA｜+｜PF₂｜=2a+｜AF₁｜=4+3=7。 [*] 综上所述，｜PA｜+｜PF₂｜的取值范围是[*]

解析

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已知椭圆，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，｜MN｜=3， (1)求椭圆的C的标准方程； (2)若A点的坐标为，P为椭圆上任意一点，求｜PA｜+｜PF2｜得取值范围。

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